Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是射線y=

2

x(x≥

2

3

)上（非端點(diǎn)）任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線PQ、PT（Q、T為切點(diǎn)），求證：直線QT的斜率為常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出橢圓方程，再把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出橢圓C的方程；
（2）先設(shè)出過點(diǎn)Q切線方程為y-y₁=k（x-x₁），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用直線與橢圓相切，求出k=-

x1

4y1

進(jìn)而求出切線方程，再利用P（t，

2

t）（t＞

2

3

）在直線PQ上，找到點(diǎn)Q（x₁，y₁）所在直線方程，同樣的方法，找到點(diǎn)T（x₂，y₂）也在直線tx+4

2

ty-4=0上，就可求出直線QT的斜率為常數(shù)的值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1，
把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三點(diǎn)坐標(biāo)代入解得

m= 1 4 n=1

，
故所求方程為.

x2

4

+y²=1．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），設(shè)以Q為切點(diǎn)的橢圓的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），
聯(lián)立

y-y1=k(x-x1) x2+4y2=4

化簡為關(guān)于（x-x₁）的一元二次方程，
得（1+4k²）（x-x₁）²+2（x₁+4ky₁）（x-x₁）+x₁²+4y₁²-4=0，
①若y₁≠0，因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以△=4（x₁+4ky₁）²-4×（1+4k²）×0=0，k=-

x1

4y1

所以切線方程為y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁）．即直線的方程為x₁x+4y₁y-4=0．
又P（t，

2

t）（t＞

2

3

）在直線PQ上，所以tx₁+4

2

ty₁-4=0
即點(diǎn)Q（x₁，y₁）在直線tx+4

2

ty-4=0上．同理，點(diǎn)T（x₂，y₂）也在直線tx+4

2

ty-4=0上，
所以直線QT的方程為tx+4

2

ty-4=0，
所以k_QT=-

2

8

（常數(shù)）．
②若y₁=0，容易求得T（-

14

9

，

4 2

9

），Q（2，0）所以k_QT=-

2

8

（常數(shù)）
綜上得，直線QT的斜率為常數(shù)-

2

8

．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系．在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如果不知道焦點(diǎn)所在位置，一般設(shè)方程為mx²+ny²=1，再利用條件求出變量即可．