Question

已知函數(shù) f（x）=

1

3

x³+

1

2

（b-1）x²+cx．
（1）當(dāng)b=-3，c=3時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，x₂-x₁＞1，求證：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，若t＜x₁，試比較t²+bt+c與x₁的大�。�

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=x²+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3時(shí)，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求
（2）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由x₁，x₂為x²+（b-1）x+c=0的兩根，而|x₁-x₂|=

(x2+x1)2-4x1x2

，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系可證b²＞2（b+2c）
（3）要比較t²+bt+c與x₁的大�。�只需比較t²+bt+c-x₁與0的大小，由（2）可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂）則可得t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），再由x₂-x₁＞1，可得x₂＞1+x₁＞1+t，從而有t-x₂+1＜0，從而可證

解答：解：f′（x）=x²+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3時(shí)，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得，y極大=f(1)=

4

3

，y極小=f(3)=0
（2）f'（x）=x²+（b-1）x+c
由題意可得x₁，x₂為x²+（b-1）x+c=0的兩根，而|x₁-x₂|=x2-x1=

(b-1)2-4c

＞1從而可證
（3）由于x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），則可得t²+bt+c=（t-x₁）（t-x₂）+t，t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），結(jié)合已知可證（t-x₁）（t-x₂+1）＞0，即證

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值及判斷函數(shù)的單調(diào)性，這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的最基本的試題類型，而方程與函數(shù)的結(jié)合是高考中綜合性較強(qiáng)的試題，此類問題在高考中一般是難度比較大的試題，要求考生具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力