Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²-4ax+4+b（a＞0），若f（x）在區(qū)間[3，4]上有最大值8，最小值5．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+2px在[3，5]上單調(diào)，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的對稱軸為x=2，而a＞0，從而可判斷f（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，從而便有$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=5}\\{f（4）=8}\end{array}\right.$，這樣即可求出a=1，b=4，從而得出f（x）；
（Ⅱ）先求出g（x）=x²+（2p-4）x+8，對稱軸便為x=2-p，g（x）在[3，5]上單調(diào)，從而有2-p≤3，或2-p≥5，這樣即可得出p的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的對稱軸為x=2，a＞0；
∴f（x）在[3，4]上單調(diào)遞增；
又f（x）在[3，4]上的最大值為8，最小值為5；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=9a-12a+4+b=5}\\{f（4）=16a-16a+4+b=8}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-4x+8；
（Ⅱ）g（x）=x²+（2p-4）x+8；
∴g（x）的對稱軸為x=2-p；
又g（x）在[3，5]上單調(diào)；
∴2-p≤3，或2-p≥5；
∴p≥-1，或p≤-3；
∴p的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

點評 考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．