Question

雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P_n（x_n，y_n）（n∈N*）在雙曲線右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，則|P₂₀₀₉F₁|的值為

 

．

Answer 1

分析：由題意，知e=

2

，|P_nF₁|=|a+ex_n|=

2

+

2

xn，|P_n+1F₂|=|a-ex_n+1|=

2

xn+1-

2

，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，由此能求出|P₂₀₀₉F₁|的值．

解答：解：依題意，e=

2

，
|P_nF₁|=|a+ex_n|=

2

+

2

xn，
|P_n+1F₂|=|a-ex_n+1|=

2

xn+1-

2

，
∴x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，
所以x₁=2，x_n=2n，x₂₀₀₉=4018．
則|P₂₀₀₉F₁|=

2

+

2

x2009=4019

2

，
故答案為：4019

2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)和應(yīng)用、向量垂直的條件等知識，解題時要注意公式的靈活運用．