已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)若數(shù)學(xué)公式,求f(x)在[1,+∞)上的最小值
(2)若數(shù)學(xué)公式,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是否有零點(diǎn),若有,求出零點(diǎn),若沒有,請(qǐng)說明理由.

解:(1)當(dāng)時(shí),
f′(x)=-2+=≥0,
∴f(x)在[1,+∞)是增函數(shù),
∴f(x)的最小值為f(1)=
(2)∵(x>0).
(x>0).
,∵
∴當(dāng)時(shí),>2,由f′(x)>0得0<x<2或x>,由f′(x)<0,得2<x<
當(dāng)a>時(shí),,由f′(x)>0得0<x<或x>2,由f′(x)<0,得<x<,2;
所以當(dāng)時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2]和,單調(diào)遞減區(qū)間是;
當(dāng)時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是
(3)先求f(x)在x∈[1,2]的最大值.由(2)可知,
當(dāng)時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

可知,,2lna>-2,-2lna<2,
所以-2-2lna<0,則f(x)max<0,
故在區(qū)間[1,2]上f(x)<0.恒成立,
故當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上沒有零點(diǎn).
分析:(1)求出f′(x),利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性,由單調(diào)性可求f(x)的最小值;
(2)求出f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上最大值,由最大值符號(hào)可作出判斷.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,屬中檔題.
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(1)若,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,且對(duì)于任意,恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)設(shè)函數(shù),求證:

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(本題滿分12分)已知函數(shù),

(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),求證:

 

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(本小題滿分13分)已知函數(shù)

(1)若的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;

(2)若上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)的最大值.

 

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已知函數(shù)。

(1)若,求函數(shù)的值;

(2)求函數(shù)的值域。

 

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已知函數(shù)

(1)若從集合中任取一個(gè)元素,從集合中任取一個(gè)元素,求方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率;

(2)若是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù),是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù),求方程沒有實(shí)根的概率.

 

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