Question

已知實數a＜0，函數f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R）
（1）若a=-1，求函數f（x）的圖象在點（-1，4）處的切線方程；
（2）若f（x）有極大值-2，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入，對函數求導，求得切線斜率及切點的坐標，從而可求切線方程；
（2）先求導函數，研究函數的單調區(qū)間，由單調區(qū)間求出函數的極大值，結合條件進行判斷即可．

解答：解：（1）∵當a=-1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
f′（x）=-3x²+4x-1，
∴f′（-1）=-3-4-1=-8，
∴切線方程是：y-4=-8（x+1）即8x+y+4=0；
（2）∵函數f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R），
∴f′（x）=a（3x²-4x+1）=a（3x-1）（x-1）
∵a＜0，
令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

∴f（x）在x=1處取得極大值-2．                    
∴f（1）=a+1=-2，得a=-3，
則實數a的值為-3．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查由函數的導數的符號變化研究函數的單調區(qū)間與極值．