Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長(zhǎng)（梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和）要最小．
（1）求外周長(zhǎng)的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi)，外周長(zhǎng)最小為多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用梯形的面積公式將梯形的上底、下底用h表示；將梯形周長(zhǎng)用h表示；利用基本不等式求出周長(zhǎng)的最小值．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的單調(diào)性求出周長(zhǎng)的最小值．
解答：解：（1），AD=BC+2×hcot60°=BC+，，解得．
設(shè)外周長(zhǎng)為l，則=；
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)堤高h(yuǎn)為米．
（2），設(shè)，
則=，l是h的增函數(shù)，
∴（米）．（當(dāng)h=3時(shí)取得最小值）．
點(diǎn)評(píng)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型、利用基本不等式求函數(shù)的最值注意需滿足：一正、二定、三相等；
利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．