Question

9．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結論．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2cos（$\frac{π}{4}$-x）•[-sin（$\frac{π}{4}$-x）]
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
再根據(jù)x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，可得f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．