Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點，那么直線AM與CN所成的角為（ ）

A．arccos
B．arccos
C．arccos
D．arccos

Answer 1

【答案】分析：解法一：
求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．本題可采用向量方法求解：因為=+，=+，所以•=．而||=．同理，||=．
則由數(shù)量積運算即可得直線AM與CN所成的角的大小．
解法二：
分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，把D點視作原點O，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．所以=（0，，1），=（1，0，）．故•=，||=，||=．
則由數(shù)量積運算即可得直線AM與CN所成的角的大小．
解答：解：法一：∵=+，=+，
∴•=（+）•（+）=•=．
而||====．
同理，||=．
如令α為所求之角，則cosα===，∴α=arccos．
故選D．
法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，把D點視作原點O，
分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
則A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．
∴=（0，，1），=（1，0，）．
故•=0×1+×0+1×=，
||==，
||==．
∴cosα===．
∴α=arccos．
故選D．
點評：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力．