Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是3×5=15，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a
若a=1則b=-1，若a=2則b=-1，1；若a=3則b=-1，1；
∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．

（2）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部�?br>由

a+b-8=0 b= a 2

得交點(diǎn)坐標(biāo)為(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．