Question

橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過(guò)F₁，若△ABF₂的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|y₁-y₂|值為（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  10

  3

• C、

  20

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程求得a和c，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)切圓面積求得內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而根據(jù)△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積求得△ABF₂的面積=3|y₂-y₁|進(jìn)而根據(jù)內(nèi)切圓半徑和三角形周長(zhǎng)求得其面積，建立等式求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：橢圓：

x2

25

+

y2

16

=1，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦點(diǎn)F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，則內(nèi)切圓的半徑為r=

1

2

，
而△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積=

1

2

×|y₁|×|F1F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側(cè)）
又△ABF₂的面積═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×

1

2

（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，
|y₂-y₁|=

5

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出△ABF₂的面積，屬于中檔題．