Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_2n}（n∈N^*}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k-1（λ為非零整數(shù)），試確定λ的值，使得對(duì)任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立．

Answer 1

分析：（1）設(shè)n=2k（k∈N^*），根據(jù)a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，結(jié)合三角函數(shù)的定義，易得a_2n+2=a_2（n+1）=3•a_2n，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得結(jié)論；
（2）設(shè)n=2k-1（k∈N^**），根據(jù)a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，結(jié)合三角函數(shù)的定義，易得a_2n+1=a_2n-1+1，故數(shù)列{a_n}所有的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，綜合（1）中結(jié)論，可得答案．
（3）若b_k+1＞b_k，則b_k+1-b_k＞0，由已知求出b_k+1-b_k的表達(dá)式，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，分類討論，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)n=2k（k∈N^*）
∵a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，又a₂=3，
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_2n}為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；…4'
（2）設(shè)n=2k-1（k∈N^*）
由a_2k+1=（1+2|cos（k-

1

2

）π|）a_2k-1+|sin（k-

1

2

）π|=a_2k-1+1
∴當(dāng)k∈N^*時(shí)，{a_2k-1}是等差數(shù)列
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k…6'
又由（1）當(dāng)k∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_2k}為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k…6'
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

n+1 2 (n為奇數(shù)) 3 n 2 (n為偶數(shù))

…8'
（3）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k-1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k，
∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k
由題意，對(duì)任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立
∴b_k+1-b_k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k＞0恒成立
即2•3^k＞（-1）^k-1λ•3•2^k對(duì)任意k∈N^*恒成立…11'
①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，
2•3^k＞λ•3•2^k⇒λ＜

2•3k

3•2k

=

2

3

•(

3

2

)k對(duì)任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k為奇數(shù)，
∴

2

3

•(

3

2

)k≥

2

3

•

3

2

=1
∴λ＜1…13'
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，
2•3^k＞-λ•3•2^k⇒λ＞-

2•3k

3•2k

=-

2

3

•(

3

2

)k對(duì)任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k為偶數(shù)，
∴-

2

3

•(

3

2

)k≤-

2

3

•(

3

2

)2=-

3

2

，
∴λ＞-

3

2

…15'
綜上：有-

3

2

＜λ＜1…12'
∵λ為非零整數(shù)，∴λ=-1．…16'

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列與不等式的綜合，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比關(guān)系的確定，等差關(guān)系的確定，是數(shù)列問題與不等式問題的綜合應(yīng)用，難度較大．