Question

7．參加某高校自主招生考試，男生有300人，女生有200人．現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取100人的樣本，分別將他們的初試成績制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）從樣本中初試成績不足60分的考生中隨機抽取2人，求至少抽到一名女生的概率；
（Ⅱ）該高校規(guī)定，凡初試成績不低于80分者有資格進入復試．請你根據(jù)已知條件填出下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認為能否進入復試與考生性別有關(guān)？

	能進入復試	不能進入復試	合計
男生
女生
合計

$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$附表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出基本事件的個數(shù)以及滿足條件的所有的結(jié)果，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題知，樣本中有男生60人，女生40人．---------------------------------（2分）
所以樣本中初試成績不足6（0分）的男生有60×0.05=3人，
記為1、2、3；女生有40×0.05=2人，記為a、b；
隨機抽取2人，所以可能的結(jié)果為：
（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（1，b），
（2，a），（2，b），（3，a），
（3，b），（a，b）共10種，
其中至少有一名女生的有7種，
故所求的概率為$P=\frac{7}{10}$--------------------------------------（6分）
（2）有直方圖知，初試成績不低于8（0分）的男生有（0.20+0，05）×60=15人，
女生有（0.325+0.05）×40=15人，
列聯(lián)表如下：

	能進入復試	不能進入復試	合計
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計	30	70	100

-------------------（8分）
所以，K²的觀測值$k=\frac{{100×{{（15×25-15×45）}^2}}}{60×40×30×70}≌1.79＜2.706$------------------（10分）
所以，沒有90%以上的把握認為“能否進入復試與考生性別有關(guān)”．------------（12分）

點評 本題主要考查獨立性檢驗的應用，解題的關(guān)鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于中檔題．