Question

3．在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b+c=$\sqrt{2}$+1（c＜b），△ABC的面積為$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，則a的值為$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)輔助角公式求出A的大小，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$cos（A-45°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（A-45°）=$\frac{1}{2}$．
又0°＜A＜180°，
∴A-45°=60°，A=105°．
∵△ABC的面積為$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin105°=$\frac{1}{2}$bc（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$bc=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
則bc=$\sqrt{2}$，
∵b+c=$\sqrt{2}$+1，
∴（b+c）²=（$\sqrt{2}$+1）²=3+$\sqrt{2}$．
a²=b²+c²-2bccos105°=（b+c）²-2bc-2bc×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$）=3+$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$=2+$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，
則a=$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，
故答案為：$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用輔助角公式結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．