Question

在空間四邊形ABCD中，

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

，對角線AC、BD的中點(diǎn)分別為P、Q，若

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

，則m+n+p=

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)AC、BD的中點(diǎn)分別為P、Q，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則算出

PQ

=

1

2

(

AB

+

CD

)，從而得到

PQ

=3

a

+3

b

-5

c

，與題意

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

加以比較，解出m、n、p的值，可得本題答案．

解答：解：∵Q為BD的中點(diǎn)，∴

AQ

=

1

2

(

AB

+

AD

)，
又∵P為AC的中點(diǎn)，可得

AP

=

1

2

AC

=

1

2

(

AD

+

DC

)
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=

1

2

(

AB

+

AD

)-

1

2

(

AD

+

DC

)=

1

2

(

AB

+

CD

)．
∵

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

∴

PQ

=

1

2

(

AB

+

CD

)=

1

2

[(

a

-2

c

)+(5

a

+6

b

-8

c

)]=3

a

+3

b

-5

c

，
∵

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

，
∴根據(jù)空間向量基本定理，得m=3，n=3，p=-5．
由此可得m+n+p=3+3-5=1
故答案為：1

點(diǎn)評：本題在空間四邊形中給出對角線的中點(diǎn)，求向量的線性表示式．著重考查了向量的線性運(yùn)算法則和空間向量基本定理等知識點(diǎn)，屬于中檔題．