Question

如圖，正四棱錐S-ABCD中，E是側(cè)棱SC的中點，異面直線SA和BC所成角的大小是60°．
（1）求證：直線SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）求直線BD和平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證直線SA∥平面BDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證SA與平面BDE內(nèi)一直線平行，連接AC交BD于點O，連接OE，根據(jù)中位線可知SA∥OE，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，滿足定理所需條件；
（2）連接SO，取SB中點F，連接AF、OF，SB⊥AF，根據(jù)三垂線定理的逆定理，得OF⊥SB，從而∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．在AOF中，求出此角的余弦值即可；
（3）過D作平面SBC的垂線，垂足在交線BE上，根據(jù)線面所成角的定義可知∠DBE為直線BD和平面SBC所成的角，然后在三角形DBE中求出線BD和平面SBC所成的角的正弦值的即可．

解答：（1）證明：連接AC交BD于點O，連接OE，
∵S-ABCD是正四棱錐，
∴ABCD是正方形，∴O是AC的中點．
∵E是側(cè)棱SC的中點，∴SA∥OE，
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴直線SA∥平面BDE．（4分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠SAD=60°為異面直線SA和BC所成的角，△SAD是等邊三角形．
根據(jù)正棱錐的性質(zhì)得，△SCD、△SAB、△SBC也是等邊三角形．
連接SO，取SB中點F，連接AF、OF，
∵O是正方形ABCD的中心，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)得，SO⊥平面ABCD，
∴AO⊥SO，又AO⊥BD，∴AO⊥平面SBD．
∵SB⊥AF，根據(jù)三垂線定理的逆定理，得OF⊥SB，
∴∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．AOF中，OF=

1

2

SD，AF=

3

2

SA=

3

2

SD，cos∠AFO=

OF

AF

=

3

3

，
∴二面角A-SB-D的余弦值是

3

3

．（9分）
（3）解：∵E是側(cè)棱SC的中點，∴BE⊥SC，DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴平面SBC⊥平面BDE，過D作平面SBC的垂線，垂足在交線BE上，
即BE為BD在平面SBC上的射影，∴∠DBE為直線BD和平面SBC所成的角，
∵OE=

1

2

SA，BE=

3

2

SB=

3

2

SA，
∴sin∠DBE=sin∠OBE=

OE

BE

=

3

3

，
∴線BD和平面SBC所成的角的正弦值為

3

3

．（14分）

點評：本題綜合考查空間中線線、線面的位置關(guān)系和空間中角的計算，涉及線線角、線面角和二面角的平面角，傳統(tǒng)方法和坐標向量法均可，考查的知識面較廣，難度中等，值得一做．