Question

5．若（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（　�。�

• A． 90
• B． 45
• C． 120
• D． 180

Answer 1

分析 如果n是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，如果n是偶數(shù)，那么是最中間那項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，由此可確定n的值，進(jìn)而利用展開式，即可求得常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：如果n是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，
如果n是偶數(shù)，那么是最中間項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大．
∵若（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴n=10，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）¹⁰的展開式的通項(xiàng)為C₁₀^r×2^r×x${\;}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，可得r=2，
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于C₁₀²×2²=180，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)展開式，考查二項(xiàng)式系數(shù)，正確利用二項(xiàng)展開式是關(guān)鍵．