Question

已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在球心為O半徑為1的球面上，且滿足PA、PB、PC兩兩垂直，當PC•AB的最大值時，三棱錐O-PAB的高為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：設PA=a，PB=b，PC=c，由題設可知，三棱錐就是內接球的長方體的一部分，其體對角線就是球的直徑2．
所以a²+b²+c²=4，利用基本不等式得到PC•AB=c

a2+b2

≤2．而三棱錐O-PAB的高為

1

2

c．

解答：解：設PA=a，PB=b，PC=c，由題設可知，三棱錐就是內接球的長方體的一部分，其體對角線就是球的直徑2．
∴a²+b²+c²=4．
∴4≥2c

a2+b2

∴c

a2+b2

≤2，當且僅當a²+b²=c²=2，即c=

2

，
∴PC•AB=c

a2+b2

取到最大值2，
當PC•AB的最大值時，三棱錐O-PAB的高為

c

2

=

2

2

；
故選B．

點評：本題考查了三條棱兩兩垂直的三棱錐與長方體的關系以及與外接球的關系，考查了學生的空間想象能力，屬于難題．