Question

某投資公司投資甲乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別是M（億元）和N（億元），它們與投資額t（億元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：M=

1

3

t

，N=

1

6

t，今該公司將3億元投資這個(gè)項(xiàng)目，若設(shè)甲項(xiàng)目投資x億元，投資這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y億元．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求總利潤(rùn)y的最大值．

Answer 1

分析：（1）∴∴，則乙項(xiàng)目投資（3-x）億元，這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y=M（億元）+N（億元），由經(jīng)驗(yàn)公式：M=

1

3

t

，N=

1

6

t，代入整理即可；
（2）用換元法，設(shè)

x

=t，t∈[0.

3

]，則原函數(shù)可化為：y=

1

3

t+

1

6

(3-t2)=

1

6

[-(t-1)2+4]，從而求出y的最大值．

解答：解：（1）設(shè)甲項(xiàng)目投資x億元，則乙項(xiàng)目投資（3-x）億元，這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為：
y=

1

3

x

+

1

6

(3-x)，x∈[0，3]；
（2）設(shè)

x

=t，t∈[0.

3

]，則x=t²，
∴y=

1

3

t+

1

6

(3-t2)=

1

6

[-(t-1)2+4]；
∵t∈[0，

3

]，
∴當(dāng)t=1，即x=1時(shí)，y有最大值為

2

3

答：總利潤(rùn)的最大值是

2

3

億元

點(diǎn)評(píng)：本題用換元法得到一元二次函數(shù)的解析式，所以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，是基礎(chǔ)題．