Question

函數(shù)設(shè)a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=4x+

a2

x

+9，若f（x）≥a+1對一切x≥0恒成立，則a的取值范圍為

（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＞0時，f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-9．當(dāng)x＞0時，化為4x²-（a+10）x+a²≥0在x＞0時恒成立．
令g（x）=4x²-（a+10）x+a²，轉(zhuǎn)化為

- -(a+10) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△=（a+10）²-16a²≤0．當(dāng)x=0時，比較簡單．

解答：解：設(shè)x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-4x-

a2

x

+9．
由于f（x）≥a+1對一切x≥0恒成立，
（1）當(dāng)x＞0時，f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-9，∴4x+

a2

x

-9≥a+1恒成立，
化為4x²-（a+10）x+a²≥0在x＞0時恒成立．
令g（x）=4x²-（a+10）x+a²，
利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得兩種情況：①對稱軸在y軸的左側(cè)或是y軸

- -(a+10) 8 ≤0 g(0)≥0

，或②圖象不在x軸的下方，則△=（a+10）²-16a²≤0，
解得①a≤-10．②a≤-2或a≥

10

3

．
（2）當(dāng)x=0時，f（0）=0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
綜上可知：（-∞，-2]．

點評：熟練掌握奇函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與△的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．