Question

已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）-2x的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)定義域，當(dāng)a=1時(shí)求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值，則f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=0，得f（x）=≤0，即ln，令x=適當(dāng)變形即可證明．
解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=-2+=，，
令g′（x）＞0，并結(jié)合定義域知； 令g′（x）＜0，并結(jié)合定義域知；
故g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，）；單調(diào)減區(qū)間為．
（II），
（1）當(dāng)f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立時(shí)，a≤0，此時(shí)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，無極值；
（2）當(dāng)f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立時(shí)，a≥2，此時(shí)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，無極值．
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）=在x=1處取得最大值0．
即f（x）=1-，
∴，令x=（0＜x＜1），則，即ln（n+1）-lnn，
∴l(xiāng)n=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜．
故．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題，考查了運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．