Question

已知向量

m

=(ax， -a)， 

n

=(ax， a)，其中a＞0且a≠1，
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，

m

⊥

n

；
（2）解關(guān)于x的不等式| 

m

+

n

|＜|

m

-

n

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出x的值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，將已知不等式平方展開(kāi)，得到指數(shù)不等式；討論底數(shù)與1的大��；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出解集．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，（2分）
得a^2x-a²=0，即a^2x=a²．（4分）
所以2x=2，即x=1，∴當(dāng)x=1時(shí)，

m

⊥

n

．（6分）
（2）∵|

m

+

n

|＜|

m

-

n

|，∴(

m

+

n

)2＜(

m

-

n

)2，∴

m

•

n

＜0．
所以a^2x-a²＜0，即a^2x＜a²．（10分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞1，當(dāng)a＞1時(shí)，x＜1．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（-∞，1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的性質(zhì)：模的平方等于向量的平方、考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)與1的大小有關(guān)．