Question

（2012•江蘇一模）在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若2sinAcosC=sinB，求

a

c

的值；
（2）若sin（2A+B）=3sinB，求

tanA

tanC

的值．

Answer 1

分析：（1）由2sinAcosC=sinB，可得sin（A-C）=0，故有A=C，故a=c，

a

c

=1．
（2）由sin（2A+B）=3sinB，可得 sin[（A+B）+A]=3sin[（A+B）-A]，利用兩角和的正弦公式化簡可得
tanA=

1

2

tan（A+B）=-

1

2

tanC，由此求得

tanA

tanC

的值．

解答：解：（1）∵2sinAcosC=sinB，∴2sinAcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
于是sinAcosC-cosAsinC=0，即sin（A-C）=0．…（3分）
因為A，C為三角形的內角，所以A-C∈（-π，π），從而A-C=0，
所以a=c，故

a

c

=1．…（7分）
（2）∵sin（2A+B）=3sinB，∴sin[（A+B）+A]=3sin[（A+B）-A]，
故sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA=3sin（A+B）cosA-3cos（A+B）sinA，
故 4cos（A+B）sinA=2sin（A+B）cosA，∴tanA=

1

2

tan（A+B）=-

1

2

tanC，
∴

tanA

tanC

=-

1

2

．

點評：本題主要考查正、余弦定理、兩角和的三角函數(shù)，應提醒學生考慮“斜三角形”這個條件，屬于中檔題．