Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x0∈[ ，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，

當x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x∈（ ），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

∵t＞0，∴t+2＞

② 當0＜t＜ ＜t+2，即0＜t＜ 時，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

②當 ，即t 時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt．

∴ ．

（2）解：∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣ ，

∴a≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，

設h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，

則 ，x∈[ ，e]，

①x∈[ ，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

②x∈（1，e]時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，

∴h（x）max=h（ ）=﹣2+ ，對一切x0∈[ ，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，

∴a≤h（x）max=﹣2+ +3e．

【解析】（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，設h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，則 ，x∈[ ，e]，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)a的取值
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．