Question

【題目】已知拋物線 上的一點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，焦點(diǎn)為 ，且 ，直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn).
（1）求拋物線 的方程；
（2）若 是 軸上一點(diǎn)，且△ 的面積等于 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得 ，所以 ，所以拋物線方程為

（2）解：設(shè) ，聯(lián)立得方程組

消去 得 ，從而

由弦長公式得 ，

設(shè) ， 到直線 的距離為 ，則 ，

又 ，則 ，所以 或 ，故點(diǎn) 坐標(biāo)為 或

【解析】(1) 根據(jù)題意利用拋物線上的點(diǎn)的幾何意義可求出 + 3 = 4，求出P的值進(jìn)而得出拋物線的方程。(2)首先設(shè)出了兩個點(diǎn)的坐標(biāo)然后聯(lián)立直線和拋物線的方程消元可得到關(guān)于y的方程，借助韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，代入兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長 | A B |的值，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高線的值，代入到三角形的面積公式的關(guān)于a的式子求出a的值進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解拋物線的定義的相關(guān)知識，掌握平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線．