已知函數(shù)f(x)=
3x
2x+3
,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),n∈N*,
(Ⅰ)求證:數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列;
(Ⅱ)令bn=an-1•an(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn
m-2002
2
對一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m.
分析:(Ⅰ)利用f(x)=
3x
2x+3
,an+1=f(an),可得an+1=
3an
2an+3
,取倒數(shù)可得
1
an+1
-
1
an
=
2
3
,從而數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=
3
2n+1
,根據(jù)bn=an-1•an(n≥2),可得bn=an-1an=
9
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,進而可裂項求和
,從而將Sn
m-2002
2
,轉化為
9
2
(1-
1
2n+1
)<
m-2002
2
對一切n∈N*成立,故可求.
解答:證明:(Ⅰ)∵f(x)=
3x
2x+3
,
∴an+1=
3an
2an+3

1
an+1
-
1
an
=
2
3

∴數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=
3
2n+1

當n≥2時,bn=an-1an=
9
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

當n=1時,上式同樣成立
Sn=b1+b2+…+bn=
9
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
9
2
(1-
1
2n+1
)

Sn
m-2002
2
,即
9
2
(1-
1
2n+1
)<
m-2002
2
對一切n∈N*成立,
9
2
(1-
1
2n+1
)
隨n遞增,且
9
2
(1-
1
2n+1
)<
9
2

9
2
m-2002
2
,
∴m≥2011,
∴m最小=2011
點評:本題以函數(shù)為載體,考查構造法證明等差數(shù)列,考查裂項求和,考查恒成立問題,綜合性強.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x>7)
,數(shù)列an滿足an=f(n)(n∈N*),且an是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+
π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的圖象過點(
π
16
,2+
2
)

(Ⅰ)求ω的值及使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=
2
sin4x(x∈R)
的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|3-
1x
|,x∈(0,+∞)

(1)寫出f(x)的單調區(qū)間;
(2)是否存在實數(shù)a,b(0<a<b)使函數(shù)y=f(x)定義域值域均為[a,b],若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x-
π
3
)=sinx,則f(π)
等于(  )

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