Question

3．對于函數(shù)y=f（x），x∈A，若同時(shí)滿足以下條件：①f（x）在A上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆A（a＜b且ab≠0），使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也是區(qū)間[a，b]，則稱y=f（x）是閉函數(shù)．
（I）求閉函數(shù)f（x）=x³符合條件的區(qū)間[a，b]；
（2）若函數(shù)y=k+$\sqrt{x+4}$是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）=-x³在R上為單調(diào)減函數(shù)的特點(diǎn)，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b．
（2）y=k+$\sqrt{x+4}$在[-4，+∞）單調(diào)遞增，若存在區(qū)間[a，b]⊆[-4，+∞），使得在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇a，b]，則得到關(guān)于a，b的方程組，此方程組有[-4，+∞）上的解即可，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，列不等式即可得k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，y=x³ 在[a，b]上遞增，在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴所求的區(qū)間[a，b]為[-1，1]．
（2））∵函數(shù) y=k+$\sqrt{x+4}$是在[-4，+∞）單調(diào)遞增，若y=k+$\sqrt{x+4}$是閉函數(shù)，
則存在區(qū)間[a，b]⊆[-4，+∞），使得在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a+4}}\\{b=k+\sqrt{b+4}}\end{array}\right.$，
∴a，b為方程x=k+$\sqrt{x+4}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-4=0（x≥-4，x≥k）有兩個(gè)不等的實(shí)根．
令h（x）=x²-（2k+1）x+k²-4，則有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（2k+1）}^{2}-4{（k}^{2}-4）＞0}\\{h（-4）≥0}\\{h（k）≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞-4}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜k≤-4．
∴k的取值范圍為（-$\frac{9}{2}$，-4]．

點(diǎn)評 本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運(yùn)用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于中檔題．