Question

設函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx．
（1）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)，其導函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即最小值≥0恒成立．
（2）據(jù)（1）根據(jù)參數(shù)的范圍，對函數(shù)單調(diào)性分類判斷，據(jù)極值的定義在各類中求出函數(shù)的極值．

解答：解：（1）f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
令g（x）=2x²-2x+a，則函數(shù)g（x）圖象的對稱軸方程是x=

1

2

，
故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要a≥

1

2

．
（2）有（1）知當a≥

1

2

時，f′（x）=0的點是導數(shù)不變號的點，
故a≥

1

2

時，函數(shù)無極值點；
當a＜

1

2

時，f'（x）=0的根是x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

，
若a≤0，

1-2a

≥1，此時x₁≤0，x₂＞0，且在（0，x₂）上f′（x）＜0，
在（x₂，+∞）上f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）有唯一的極小值點x2=

1+ 1-2a

2

；
當0＜a＜

1

2

時，0＜

1-2a

＜1，
此時x₁＞0，x₂＞0，f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此時f（x）有一個極大值點x1=

1- 1-2a

2

和一個極小值點x2=

1+ 1-2a

2

．
綜上可知，a≤0時，f（x）在（0，+∞）上有唯一的極小值點x2=

1+ 1-2a

2

；
0＜a＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x1=

1- 1-2a

2

和一個極小值點x2=

1+ 1-2a

2

；
a≥

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值點．

點評：本題考查知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；分類討論求函數(shù)的極值．