Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上的極值及最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間，
（2）分別求出端點值和極大值，即可求出最值

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-x+1，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）由（1）可知，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時，函數(shù)有極大值，極大值為f（1）=0，極大值即為最大值，即最大值為0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-ln2，f（2）=ln2-1，
由于$\frac{1}{2}$-ln2-ln2+1=$\frac{3}{2}$-2ln2＞0，
∴f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
∴f（x）_min=ln2-1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值的關(guān)系，掌握求最值的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．