Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg(ax2-x+

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a)的定義域是R；命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立．
（1）如果p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）如果“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，若p是真命題，則ax2-x+

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a＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，由此能夠求出p是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若命題q為真命題時(shí)，則3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立．由3x-9x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

∈（-∞，0），
知q是真命題時(shí)，a≥0．再由p或q為真命題，命題p且q為假命題，知

a＞2 a＜0

或

a≤2 a≥0

，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，若p是真命題，
則ax2-x+

1

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a＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，
若a=0，顯然不成立；
若a≠0，解得a＞2
故如果p是真命題時(shí)，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）
（2）若命題q為真命題時(shí)，
則3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立．
3x-9x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

∵x＞0
∴3^x＞1
∴3^x-9^x∈（-∞，0）
所以如果q是真命題時(shí)，a≥0．
又p或q為真命題，命題p且q為假命題
所以命題p與q一真一假
∴

a＞2 a＜0

或

a≤2 a≥0

解得0≤a≤2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．