如圖,已知一個圓錐的底面半徑為R,高為h,在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱(其中R,h均為常數(shù)).
(1)當(dāng)x=
23
h時,求內(nèi)接圓柱上方的圓錐的體積V;
(2)當(dāng)x為何值時,這個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大?并求出其最大值.
分析:(1)根據(jù)圓錐的底面半徑與高,可得內(nèi)接圓柱的高為x時,它的高h(yuǎn),由此結(jié)合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子;
(2)由(1)可得圓柱的側(cè)面積S=2π•
h
R
(h-x)x
,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值,可得當(dāng)圓柱的底面半徑為1時,圓柱的側(cè)面積最大,側(cè)面積有最大值為6π.
解答:解:圓錐、圓柱的軸截面如圖所示,其中SO=h,OA=OB=R,OK=x.
設(shè)圓柱底面半徑為r,則
r
R
=
h-x
h
(3分)
(1)當(dāng)x=
2
3
h
時,r=
1
3
R,SK=
1
3
h

V=
1
3
•πr2•SK=
1
3
1
9
πR2
1
3
h
=
1
81
πhR2

(2)設(shè)圓柱的側(cè)面積為S.
r=
h
R
(h-x)
,
S=2π•
h
R
(h-x)x
=-
2πR
h
(x-
h
2
)2+
πRh
2

∴當(dāng)x=
h
2
時,Smax=
πRh
2
點(diǎn)評:本題給出特殊圓錐,求它的內(nèi)接圓錐的側(cè)面積的最大值,著重考查了圓柱的體積、側(cè)面積公式和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接外切等知識點(diǎn)
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