Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實根，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出在區(qū)間（-2，6]內(nèi)函數(shù)f（x）的圖象，將方程的根的個數(shù)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∵對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）是周期函數(shù)，且周期為4；
∵當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，
∴其在區(qū)間（-2，6]內(nèi)的圖象如右圖，
∴在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實根可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)f（x）的圖象與y=log_a（x+2）的圖象有且只有三個不同的交點，
則log_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）＞3
解得，a∈（

3	4

，2）．
故選D．

點評：本題通過分析可得函數(shù)f（x）的性質(zhì)，并由這些性質(zhì)根據(jù)圖象變換作出其圖象，將方程問題化為圖象交點問題，屬于中檔題．