Question

國家加大水利工程建設(shè)，某地區(qū)要修建一條灌溉水渠，其橫斷面為等腰梯形（如圖），底角A為60⁰，考慮到堅固性及用料原因，要求其橫斷面的面積為6

3

平方米，記水渠深為x米，用料部分的周長（即渠底BC及兩腰長的和）為y米，
（1）．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）．當(dāng)水渠的腰長x為多少米時，水泥用料最省（即斷面的用料部分的周長最�。�？求此時用料周長的值
（3）．如果水渠的深限制在[3，

3

]范圍內(nèi)時，橫斷面用料部分周長的最小值是多少米？

Answer 1

分析：（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是求渠底BC及兩腰的長；
（2）先利用解直角三角形知識求橫截面的周長，再結(jié)合基本不等式求出周長面積的最小值即可；
（3）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義探求（2）中周長函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合所給自變量的范圍即可求橫截面周長的最小值．

解答：解：（1）由AD=BC+2

x

3

，及S=

1

2

(AD+BC)x=6

3

，
得BC=

6 3

x

-

x

3

，又

x≥0 BC= 6 3 x - x 3 ＞0

，得0＜x＜3

2

，-----------------------（4分）
所以y=BC+2AB=

6 3

x

+

3

x，定義域為(0，3

2

)------------------------（6分）
（2）y=

6 3

x

+

3

x≥2

6 3 x • 3 x

=6

2

，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=

6

∈(0，12)時等號成立，
所以用料周長最少為6

2

米，此時腰長為

6

米．----------------------（10分）
（3）x∈[3，2

3

]，y=

3

(x+

6

x

)遞增，所以x=3時，ymin=5

3

米-------------------------（15分）

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用等知識，對于（3）問應(yīng)主要利用函數(shù)的單調(diào)性求解，屬于中檔題．