Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}滿足，a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=2：1
（1）求數(shù)列{a_n}的前11項(xiàng)和：
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|；
（3）S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n取何值S_n時取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=19-n．設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，由a_n≥0可得：n≤19．當(dāng)n≤19時，T_n=S_n．當(dāng)n≥20時，T_n=S₁₉-a₂₀-a₂₁-…-a_n=2S₁₉-S_n．（3）由（2）可知：當(dāng)n≤19，a_n≥0；當(dāng)n≥20時，a_n＜0．即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=2：1．
∴4a₁+24d=48，a₁+2d=2（a₁+10d），
聯(lián)立解得：a₁=18，d=-1．
∴數(shù)列{a_n}的前11項(xiàng)和=11×18-$\frac{11×10}{2}$=143．
（2）由（1）可得：a_n=18-（n-1）=19-n．
設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，則S_n=$\frac{n（18+19-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$．
由a_n=19-n≥0可得：n≤19．
∴當(dāng)n≤19時，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$．
當(dāng)n≥20時，T_n=S₁₉-a₂₀-a₂₁-…-a_n
=2S₁₉-S_n
=$2×（-\frac{1}{2}×1{9}^{2}+\frac{37}{2}×19）$-（$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$）
=342+$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{37}{2}$n．
（3）由（2）可知：當(dāng)n≤19，a_n≥0；當(dāng)n≥20時，a_n＜0．
∴當(dāng)n=19時，S_n時取到最大值，最大值為S₁₉=$-\frac{1}{2}×1{9}^{2}$+$\frac{37}{2}×19$=171．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法、絕對值數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．