Question

已知函數(shù)y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)k變化時(shí)，已知函數(shù)的最小值為f（k），求f（k）的表達(dá)式及函數(shù)f（k）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R，知kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）當(dāng)k=0時(shí)，f（k）=

8

=2

2

；當(dāng)k≠0時(shí)，kx²-6kx+k+8的對(duì)稱軸x=3，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，由0＜k≤1，知0≤f（k）＜2

2

．由此能求出f（k）的表達(dá)式及函數(shù)f（k）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R，
∴kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，
∴k=0或

k＞0 △=36 k 2-4k(k+8)≤0

，
即k=0或

k＞0 k2-k≤0

，
解得0≤k≤1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|0≤k≤1}．
（2）當(dāng)k=0時(shí)，f（k）=

8

=2

2

；
當(dāng)k≠0時(shí)，kx²-6kx+k+8的對(duì)稱軸x=3，
當(dāng)x=3時(shí)，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，
∵0＜k≤1，
∴0≤f（k）＜2

2

．
綜上所述，f（k）=

2 2 ，k=0 8-8k ，0＜k≤1

，
函數(shù)f（k）的值域?yàn)閇0，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．