Question

如圖，橢圓C₂的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|A₁B₁|=，S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交與點(diǎn)P，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線||=1，是否存在上述直線l使=0成立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，a=2c，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)使成立的直線l存在．
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件能夠推出直線l不存在．
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或．當(dāng)x=1時(shí)，=-．當(dāng)x=-1時(shí)，=-．所以此時(shí)直線l也不存在．由此可知，使=0成立的直線l不成立．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，
∵S_□B1A1B2A2=2S_{□B1F1B2F2，}
∴a=2c．
解得a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)使成立的直線l存在．
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)，且||=1得
，即m²=k²+1，由得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx+m代入橢圓得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，，①，，②
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
把①②代入上式并化簡(jiǎn)得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，③
將m²=1+k²代入③并化簡(jiǎn)得-5（k²+1）=0矛盾．即此時(shí)直線l不存在．
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
當(dāng)x=1時(shí)，==-．
當(dāng)x=-1時(shí)，==-．
∴此時(shí)直線l也不存在．
綜上所述，使=0成立的直線l不成立．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，靈活地運(yùn)用公式．