【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

【答案】解：（1）∵函數(shù)g(x)=x是偶函數(shù)，則g（﹣x）=g（x）．
∴恒成立，即x﹣b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x2+1．
設(shè)x2＞x1＞1，
則-1=2（x2﹣x1）（x2+x1）．
∵x2＞x1＞1，∴（x2﹣x1）（x2+x1）＞0
∴g（x2）＞g（x1），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
【解析】（1）根據(jù)g（﹣x）=g（x）恒成立得出b的值，將（1，3）代入f（x）解出a；
（2）設(shè)x2＞x1＞1，化簡g（x2）﹣g（x1）并判斷符號得出g（x2）與g（x1）的大小關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（），為上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，且、、三點(diǎn)按逆時針方向排列.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，求點(diǎn)運(yùn)動軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若曲線： ，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn)，如果有，請求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，沒有則說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”，計(jì)算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面，底面是直角梯形， ， ， ， 是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，國家對消費(fèi)者購買新能源汽車給予補(bǔ)貼，其中對純電動乘車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

某校研究性學(xué)習(xí)小組，從汽車市場上隨機(jī)選取了輛純電動乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：

（1）求的值；

（2）若從這輛純電動乘用車中任選3輛，求選到的3輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于180公里的概率；

（3）如果以頻率作為概率，若某家庭在某汽車銷售公司購買了2輛純電動乘用車，設(shè)該家庭獲得的補(bǔ)貼為（單位：萬元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：對任意， ，都有成立；

（3）對于給定的正數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得整個區(qū)間上，不等式恒成立，求出的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是正四棱柱的一個截面，此截面與棱交于點(diǎn) ， ,其中分別為棱上一點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）為線段上一點(diǎn)，若四面體與四棱錐的體積相等，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）不為常值函數(shù)，有以下命題：
①函數(shù)g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函數(shù)；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
③若f（x）是奇函數(shù)，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z）；
④對于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數(shù)，
其中所有正確命題的序號是 ．

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