Question

為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列{a_n}的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列{b_n}的前六項．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)；
（3）設(shè)

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=bn+1(n∈N+)，求數(shù)列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)前面兩個小矩形的面積求出其概率，進(jìn)而求出其頻數(shù)，再結(jié)合數(shù)列知識求得數(shù)列的通項公式；
（2）欲求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)，即求直方圖中最后兩組的頻數(shù)，也即數(shù)列{bn}的第五和第六項之和；
（3）先證明數(shù)列{Cn}與數(shù)列{bn}之間的關(guān)系，得到數(shù)列{Cn}從第二項始是一個等比數(shù)列，從而求得其通項．

解答：解：（1）由題意知a₁=0.1×0.1×100=1，a₂=0.3×0.1×100=3
因此數(shù)列{a_n}是一個首項a₁=1．公比為3的等比數(shù)列，所以a_n=3^n-1．b₁=a₄=27
又b₁+b₂++b₆=100-（a₁+a₂+a₃）=100-（1+3+9）
所以6b1+

6×5

2

d=87，解得d=-5，
因此數(shù)列{b_n}是一個首項b₁=27，公差為-5的等差數(shù)列，
所以b_n=32-5n，（6分）

（2）求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為b₅+b₆=（32-5×5）+（32-5×6）=9（8分）

（3）由

c1

a1

+

c2

a2

++

cn-1

an-1

+

cn

an

=bn+1(n∈N+)①
可知，當(dāng)n≥2時，

c1

a1

+

c2

a2

++

cn-1

an-1

=bn②
①-②得，當(dāng)n≥2時，

cn

an

=bn+1-bn=-5，
∴c_n=-5a_n=-5•3^n-1（n∈N₊，n≥2），
又

c1

a1

=b2=22，c1=22，
因此數(shù)列{c_n}是一個從第2項開始的公比為3的等比數(shù)列，
數(shù)列{c_n}的通項公式為cn=

22 n=1 -5•3n-1 n≥2

（14分）

點評：本題主要考查頻率分布直方圖和等差等比數(shù)列的通項公式，是一道直方圖與數(shù)列交匯的題目，具有一定的綜合性，屬于中檔題．