Question

以F₁（0，-1），F₂（0，1）為焦點的橢圓C過點P（，1）．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點S（，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）設橢圓方程為（a>b>0），由已知c=1，

又2a=  

所以a=,b²=a²-c²=1，橢圓C的方程是x²+ =1

  （Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1,

若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）²+y²=,

由解得即兩圓相切于點（1，0）．

因此所求的點T如果存在，只能是（1，0）．

事實上，點T（1，0）就是所求的點．證明如下：

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k（x+）．

由即（k²+2）x²+k²x+k²-2=0

記點A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,則

又因為=（x₁-1, y₁）, =（x₂-1, y₂）,所以

?=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+）（x₂+）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1

=（k²+1） +（k²-1） + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．

所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件．

解法二：（Ⅰ）由已知c=1，設橢圓C的方程是（a>1）．

因為點P在橢圓C上，所以,解得a²=2，

所以橢圓C的方程是：.

（Ⅱ）假設存在定點T（u，v）滿足條件．

同解法一得（k²+2）x²+k²x+k²-2=0

記點A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,則

又因為=（x₁-u, y₁-v）, =（x₂-u, y₂-v）,及y₁=k（x₁+）,y₂=k（x₂+）．

所以?=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-u-kv）（x₁+x₂）+k²-v+u²+v²

=（k²+1） +（k²-u-kv）?+ + u²+v²，

=

當且僅當?=0恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.

?=0恒成立等價于解得u=1,v=0.所以當u=1,v=0時．無論直線l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T（1，0）．10分

當直線l垂直于x軸時以AB為直徑的圓亦過點T（1，0）．

    所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件．

解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二．

（Ⅱ）設坐標平面上存在一個定點T滿足條件，根據直線過x軸上的定點S及橢圓的對稱性，所求的點T如果存在，只能在x軸上，設T（t，0）．

同解法一得

又因為=（x₁-t, y₁）, =（x₂-t, y₂）,所以

?=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+）（x₂+）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t ²

=（k²+1） +（k²-t）++t²

= .

當且僅當?=0恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.

?=0恒成立等價于解得t=1.

所以當t=1時,以AB為直徑的圓恒過點T.

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點T（1，0）．

所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件．