Question

13．在直角坐標系xOy中，已知點P（2，0），曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和極坐標方程；
（Ⅱ）過點P且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交曲線C于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉化方法，即可求曲線C的普通方程和極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的標準參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s為參數）$，將其代入y²=4x，利用參數的幾何意義，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）因為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$消t得曲線C的普通方程為y²=4x．（2分）
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）因為直線l過點P（2，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$，
所以直線l的標準參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s為參數）$，（7分）
將其代入y²=4x，整理可得${s^2}-4\sqrt{2}s-16=0$，（8分）$△={（-4\sqrt{2}）^2}+4×16＞0$，
設A，B對應的參數分別為s₁，s₂則 ${s_1}+{s_2}=4\sqrt{2}，{s_1}{s_2}=-16$，
所以$|{AB}|=|{{s_1}-{s_2}}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=\sqrt{{{（4\sqrt{2}）}^2}+4×16}=4\sqrt{6}$．（10分）

點評 本題考查三種方程的轉化，考查參數方程的運用，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．