Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿對角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求點C到平面ABD的距離；
（3）在BD上是否存在一點P，使CP⊥平面ABD，證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）取AC的中點M，因為AB=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=∴∠BAC=∠BCA=
∵∠ACD=，∴∠ACD=，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA為B到平面ACD的距離，且BM=
設(shè)點C到平面ABD的距離h
由已知可得AC=，∠ACD=，由（1）可得∠AMD=，從而可得
根據(jù)等體積可得×=
∴

點C到平面ABD的距離
（3）假設(shè)存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD
則CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P為DB的中點
而此時CP=，AP=，AC=，則AC²=AP²+CP²
∴AP⊥CP②由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得此時的P滿足條件，
故存在P為BD的中點
分析：（1）由AB=AC考慮取AC的中點M，則有BM⊥AC，由已知平面ABC⊥平面ACD可得BM⊥平面ACD進(jìn)而有BM⊥CD，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可證
（2）利用等體積，根據(jù)V_B-ACD=V_C-ABD，代入已知數(shù)據(jù)可求點C到平面ABD的距離
（3）假設(shè)存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD則CP⊥BD，由BC=CD=a 可得P為DB的中點，從而通過計算可得AP⊥CP，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得存在符合條件的點P
點評：本題體主要考查了“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉(zhuǎn)化，其理論依據(jù)是直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，而利用換頂點求三棱錐的體積進(jìn)而求高是在求解點到面的距離時常用的方法．