Question

10．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（-1）=0，則f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤0}．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（x）在區(qū)間（-∞，0]是減函數(shù)，又由f（-1）=0，分析可得當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≤0的解集，進(jìn)而由[0，+∞）的單調(diào)性以及f（1）=f（-1）=0，分析可得當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤0的解集，綜合可得答案．

解答 解：定義域在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，則其在區(qū)間（-∞，0]是減函數(shù)，
又由f（-1）=0，
則當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤0}，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=f（-1）=0，
則此時(shí)f（x）≤0的解集為{x|0≤x≤1}，
綜合可得f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤1}，
故答案為：{x|-1≤x≤1}

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．