Question

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)的是（　　）

• A．y=x³
• B．y=|x-1|
• C．y=tanx
• D．y=lg

  1-x

  1+x

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷出．

解答：解：A．∵f（-x）=（-x）³=-f（x），∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)，
∵f′（x）=3x²≥0，∴在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，不滿足條件．
B．∵f（-x）=|-x-1|=|x+1|≠-f（x），故不是奇函數(shù)；
C．∵f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），故f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)，但是y=tanx在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，因此不符合條件；
D．由

1-x

1+x

＞0，化為（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對稱．
又f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x）=lg(

2

1+x

-1)在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

滿足題意．
綜上可知：只有D滿足題意．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題．