Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，通項公式為an=

1

n

，f(n)=

S2n   n=1 S2n-Sn-1  n≥2

．
（Ⅰ）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比較f（n）與1的大小，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）此問根據通項公式計算出前n項的和．當n=1時，f（1）=s₂；當n=2時，f（2）=s₄-s₁=a₂+a₃；當n=3時，f（3）=s₆-s₂．（2）當n=1時，f(1)=a1+a2=1+

1

2

≥1．當n≥2時，f（n）中沒有a₁，因此都小于1．

解答：解：（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+

1

2

=

3

2

，f(2)=S4-S1=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

，f(3)=S6-S2=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；當n≥3時，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用數學歸納法證明：
（1）由（Ⅰ）當n=3時，f（n）＜1；（5分）
（2）假設n=k（k≥3）時，f（n）＜1，即f(k)=

1

k

+

1

k+1

++

1

2k

＜1，那么f(k+1)=

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=(

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

)+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k

＜1+(

1

2k+1

-

1

2k

)+(

1

2k+2

-

1

2k

)=1+

2k-(2k+1)

2k(2k+1)

+

2k-(2k+2)

2k(2k+2)

=1-

1

2k(2k+1)

-

1

k(2k+2)

＜1，
所以當n=k+1時，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，當n≥3時，f（n）＜1．（9分）
所以當n=1，和n=2時，f（n）＞1；當n≥3時，f（n）＜1．（10分）

點評：此題主要考查數列遞推式及相關計算．