Question

已知平面區(qū)域A：

x≥0 y≥0 3 x+y-2 3 ≤0

恰好被面積最小的圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內(nèi)部所覆蓋，現(xiàn)向此圓內(nèi)部投一粒子，則粒子恰好落在平面區(qū)域A內(nèi)的概率為（　�。�

• A．

  2

  2π

• B．

  3

  2π

• C．

  2

  π

• D．

  3

  π

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△0DE及其內(nèi)部，從而得到將平面區(qū)域A覆蓋的面積最小的圓C恰好是△ODE的外接圓，根據(jù)△ODE是直角三角形算出圓C的半徑r=2，進而得出圓C的面積為4π，結合△ODE面積為2

3

用幾何概型計算公式加以計算，即可算出所求的概率．

解答：解：作出不等式組

x≥0 y≥0 3 x+y-2 3 ≤0

表示的平面區(qū)域A，
得到如圖的△ODE及其內(nèi)部，其中0（0，0），D（3，0），E（0，2

3

）
∵平面區(qū)域A恰好被面積最小的圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內(nèi)部所覆蓋，
∴圓C是△ODE的外接圓，結合△ODE是直角三角形，可得圓C是以斜邊DE為直徑的圓
可得圓C的半徑r=

1

2

|DE|=

1

2

22+(2 3 )2

=2，
因此，圓C的面積為S=πr²=4π
又∵△ODE面積為S₁=

1

2

×2×2

3

=2

3

∴向此圓內(nèi)部投一粒子，則粒子恰好落在平面區(qū)域A內(nèi)的概率為P=

S1

S

=

3

π

故選：D

點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域及其外接圓，求向外接圓內(nèi)投點能使點P落在該區(qū)域內(nèi)的概率．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、簡單的線性規(guī)劃等知識和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．