Question

已知：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a）為常數(shù)）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在x∈[-

π

6

，

π

6

]上最大值與最小值之和為3，求a的值；
（Ⅲ）在（2）條件下f（x）先按

m

平移后再經(jīng)過伸縮變換后得到y(tǒng)=sinx．求

m

．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)解析式降冪，再用輔助角公式合并，得到f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期的結(jié)論，可得f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)題意，得到2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，從而有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，得到函數(shù)f（x）的最大、最小值的和為2a+3=3，得到a的值為0；
（Ⅲ）在（2）條件下f（x）先向右平移

π

12

單位，再向下平移1個(gè)單位，可得y=2sin2x的圖象，由此可得向量

m

坐標(biāo)．

解答：解：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=（cos2x+1）+

3

sin2x+a=(

3

sin2x+cos2x)+a+1
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1…（3分）
（1）函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π…（4分）
（2）根據(jù)題意，x∈[-

π

6

，

π

6

]⇒2x∈[-

π

3

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1…（6分）
即

f(x)max=2+a+1 f(x)min=-1+a+1

，
∵最大值與最小值之和為3，
∴2a+3=3⇒a=0…（7分）
（3）由（2）得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1
∴函數(shù)y=f（x）先向右平移

π

12

單位，再向下平移1個(gè)單位，可得y=2sin2x的圖象…（9分）
最后將y=2sin2x圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的

1

2

，可得y=sinx的圖象，
∴向量

m

=(

π

12

，-1)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期及其求法，以及三角函數(shù)的最值．熟練運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．