Question

12．（Ⅰ）求右焦點坐標是（2，0），且經(jīng)過點$（-2，-\sqrt{2}）$的橢圓的標準方程
（Ⅱ）求與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$共焦點且過點$（3\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，根據(jù)橢圓的簡單性質，及已知點坐標列出方程組，求出a²與b²的值，即可確定出橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由已知橢圓方程找出a與b的值，進而求出c的值，即為雙曲線方程c的值，設雙曲線解析式為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，利用雙曲線的簡單性質及已知點坐標，求出m²與n²的值，即可確定出雙曲線解析式．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=4}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=4，
則所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由橢圓方程得：a=5，b=$\sqrt{5}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設雙曲線解析式為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{\frac{18}{{m}^{2}}-\frac{8}{{n}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：m²=n²=10，
則雙曲線解析式為$\frac{{x}^{2}}{10}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

點評 此題考查了橢圓的標準方程，以及雙曲線的標準方程，熟練掌握各自的簡單性質是解本題的關鍵．