Question

19．函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{2}$-（t+1）x+tlnx，t∈R．
（1）求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若f（x）≥-$\frac{e^2}{2}$對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論t的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）求出f（x）的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
求導(dǎo)得：$f（x）=x-（t+1）+\frac{t}{x}=\frac{（x-1）（x-t）}{x}$，
當(dāng)t≤0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極小值點(diǎn)為1；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜t，令f′（x）＜0，解得：t＜x＜1，
∴f（x）在（0，t）遞增，在（t，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值點(diǎn)為t，極小值點(diǎn)為1；
當(dāng)t=1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)；
當(dāng)t＞1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞t或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1t
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，t）遞減，在（t，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值點(diǎn)為1，極小值點(diǎn)為t；                     （5分）
（2）由（1）得：
當(dāng)t≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）遞增，
$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{1}{2}-t≥-\frac{3}{2}＞-{e^2}$；
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在（1，t）遞減，在（t，+∞）遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（t）=-\frac{t^2}{2}-t+tlnt$；
令$g（t）=-\frac{t^2}{2}-t+tlnt$，g′（t）=-t+lnt＜-t+（t-1）=-1＜0，
所以g（t）在（1，+∞）遞減，因?yàn)?g（t）≥-\frac{e^2}{2}=g（e）$，
所以1＜t≤e；
綜上，t的取值范圍為（-∞，e]．                                （5分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．