Question

已知函數(shù)f(x)=kx+m，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇a₃，b₃]，依次類推，一般地，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇a_n，b_n]，其中k，m為常數(shù)，且a₁=0，b₁=1，
(Ⅰ)若k=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若m=2，問(wèn)是否存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
( Ⅲ)若k＜0，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，求(T₁+T₂+…+ T₂₀₁₀)-(S₁+S₂+…+S₂₀₁₀)。

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=x+m，
當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以其值域?yàn)閇a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m(n∈N*，n≥2)，
又a₁=0，b₁=1，
所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m。 
(Ⅱ)因?yàn)閒(x)=kx+m(k＞0)，
當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)，
所以f（x）的值域?yàn)閇ka_n-1+m，kb_n-1+m]，
因m=2，則b_n= kb_n-1+2(n≥2)，
假設(shè)存在k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足，
則，得4=4k+2，則符合。
(Ⅲ)因?yàn)閗＜0，x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f(x)為單調(diào)減函數(shù)，
所以f(x)的值域?yàn)閇kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，bn=ka_n-1+m（n∈N*，n≥2)，
則b_n-a_n=-k(b_n-1-a_n-1)，
又，
則有，
進(jìn)而有
。