Question

揚(yáng)州某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x（米），外周長(zhǎng)（梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和）為y（米）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過10.5米，則其腰長(zhǎng)x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（3）當(dāng)防洪堤的腰長(zhǎng)x為多少米時(shí)，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省（即斷面的外周長(zhǎng)最�。�？求此時(shí)外周長(zhǎng)的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由橫斷面積用x表示BC，從建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，定義域由線段必須大于零和高度不低于米求解；
（2）解y≤10.5分式不等式；
（3）求函數(shù)y的最小值，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及條件可選用不等式解決．
解答：解：（1），其中，，
∴，得，
由，得2≤x＜6
∴；（6分）
（2）得3≤x≤4∵[3，4]?[2，6）
∴腰長(zhǎng)x的范圍是[3，4]（10分）
（3），
當(dāng)并且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
∴外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)腰長(zhǎng)為米．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用平面圖形建立函數(shù)模型以及解模的能力，屬于中檔題．